Wahlteil 2009 - Aufgabe II 1
Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt.
Eine Radarstation befindet sich im Punkt R1(6|3|0).
Das Radar erfasst ein Testflugzeug F1 um 7:00 Uhr im Punkt P(7|29|7)
und ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs
(t in Minuten nach 7:00 Uhr, Koordinatenangaben in km).
a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7:01 Uhr?
Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den Boden zu?
Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es bei Beibehaltung
dieser Flugbahn auf dem Boden aufsetzen?
(6 VP)
b) Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt R2(17|9|0).Der Anflug des Testflugzeugs F1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die Flugbahn f1 und die beiden Radarstationen in einer Ebene liegen.
Prüfen Sie, ob das zutrifft.
Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt, ab dem sich das Flugzeug von R1 entfernt.
Um wieviel Uhr ist dies der Fall?
(6 VP)
c) Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird beschrieben durch
Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7:04 Uhr voneinander entfernt?
Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge kommen.
(4 VP)
Lösung a)
Position von F1 zum Zeitpunkt t=1
Setze t=1 und erhalte:
Ergebnis: Um 7:01 befindet sich das Flugzeug im Punkt Q(10|27|6).
Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
Mit zunehmender Zeit t nimmt die x3-Koordinate also die Höhe immer mehr ab. Das Flugzeug befindet sich daher im Sinkflug.
Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h:
Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich F1 im Punkt P(7|29|7).
Bestimme zunächst die Entfernung der Punkte P und Q.
Diese Entfernung wird in einer Minute zurückgelegt.
Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit.
Es folgt:
Schnittwinkel
Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist gegeben durch
wobei 
der Normalenvektor der Ebene
und 
der Richtungsvektor der Geraden ist.Mit
und 
folgt 
und
Aufsetzpunkt und Aufsetzzeit am Boden
Eine Ebenengleichung für die x1x2-Ebene lautet E: x3=0.
Für den Schnittpunkt f1 mit E setzen wir f1 in E ein: 7-t=0 ⇒ t=7.
Einsetzen in f1 liefert
.Ergebnis: Das Flugzeug f1 setzt um 7:07 im Punkt P(28|15|0) am Boden auf.
Lösung b)
Test, ob f1, R1 und R2 in einer gemeinsamen Ebene liegen:
Die beiden Radarstationen R1 und R2 befinden sich zwar am Boden, aber zwei Punkte alleine beschreiben noch keine Ebene.
Die Frage ist also, ob es möglich ist, eine Ebene E zu finden, die R1, R2 und die Gerade f1 enthält. Hierzu nehmen wir den Stützvektor von f1 als Stützvektor von E und den Richtungsvektor von f1 als einen der beiden Richtungsvektoren von E. Damit ist sichergestellt, dass ganz f1 in E liegt.
Den zweiten Richtungsvektor von E bilden wir aus der Differenz des Stützvektors und R1.
Daraus erhalten wir eine vollständige Ebenengleichung für E und wir haben zu testen, ob auch R2 in dieser Ebene liegt. Somit gilt:
ein und testen, ob die Gleichung erfüllt wird:
Ergebnis: Die Flugbahn ist optimal.
Um wieviel Uhr übernimmt die Radarstation R2 die Flugüberwachung?
Es sei Pt der Punkt, an dem sich das Flugzeug F1 zum Zeitpunkt t befindet. Wir bestimmen den Zeitpunkt der kürzesten Entfernung von F1 zu R1. Ab diesem Zeitpunkt entfernt sich F1 von R1 und R2 übernimmt die Flugüberwachung. Mit
folgt Pt(7+3t|29-2t|7-t).
Der Abstand zur Radarstation R1 ist dann gegeben durch:
Ergebnis: Der kürzeste Abstand von F1 zu R1 wird um 7.04 Uhr erreicht und beträgt dann 22,4 km. Ab 7.04 Uhr übernimmt die Radarstation R2 die Flugüberwachung.
Lösung c)
Wie weit sind die beiden Flugzeuge um 7.04 Uhr voneinander entfernt?
Um die beiden Punkte zu erhalten, in denen sich F1 und F2 um 7.04 Uhr befinden, setzen wir t=4 in die jeweilige Flugbahn ein und erhalten
Kleinster Abstand der beiden Flugzeuge
Bestimmen Sie zuerst die beiden Punkte Pt und Qt in denen sich die beiden Flugzeugt zum Zeitpunkt t befinden.
Aus b) wissen wir bereits, dass für F1 Pt(7+3t|29-2t|7-t) gilt.
Aus
erhalten wir für F2 Qt(18+2t|11+2t|7).Für den Abstand gilt dann:
Ergebnis: Die beiden Flugzeuge können sich höchsten etwa 7,9 km nahe kommen.
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